La période post-classique

Passage par l'Islam

Deux siècles après leur sortie de leur désert autour de La Mecque, les partisans de Mahomet occupèrent les terres de la Perse à l'Espagne et s'installèrent pour maîtriser les arts et les sciences des peuples qu'ils avaient conquis. Ils admiraient surtout les travaux des mathématiciens et médecins grecs et la philosophie d'Aristote. À la fin du IXe siècle, ils étaient déjà en mesure d'ajouter à la géométrie d'Euclide , d' Archimède et d'Apollonius. Au 10ème siècle, ils dépassèrent Ptolémée. Stimulés par le problème de la recherche de l'orientation effective de la prière (la qiblah , ou direction du lieu de culte à La Mecque), les géomètres et astronomes islamiques ont développé la projection stéréographique (inventée pour projeter le sphère céleste sur une carte ou un instrument bidimensionnel) ainsi que la trigonométrie plane et sphérique . Ici, ils ont incorporé des éléments dérivés de l'Inde ainsi que de la Grèce. Leurs réalisations en géométrie et en astronomie géométrique se matérialisèrent dans des instruments de dessin de sections coniques et, surtout, dans les beaux astrolabes en laiton avec lesquels ils réduisirent au tour d'un cadran le travail de calcul des grandeurs astronomiques. Thābit ibn Qurrah (836–901) avait précisément les attributs nécessaires pour amener la géométrie des Arabes à la hauteur fixée par les Grecs. En tant que membre d'une secte religieuse proche mais hostile aux juifs et aux chrétiens, il connaissait le syriaque et le grec ainsi que l'arabe; en tant que changeur de monnaie, il savait calculer; comme les deux, il se recommanda aux Banū Mūsā, un ensemble de frères mathématiciens descendants d'un voleur qui s'était diversifié dans l'astrologie. Le Banū Mūsā dirigea une Maison de la Sagesse à Bagdad parrainée par le calife. Là, ils ont présidé les traductions des classiques grecs. Thābit est devenu un ornement de la Maison de la Sagesse. Il a traduit Archimède et Apollonius, dont certains livres ne sont maintenant connus que dans ses versions. Dans un ajout notable à Euclide, il a essayé vaillamment de prouver lepostulat parallèle (discuté plus tard dans les géométries non euclidiennes ). Parmi les morceaux de l'astronomie géométrique grecque que les Arabes se sont appropriés, il y avait le planisphérique astrolabe , qui incorporait l'une des méthodes de projection de la sphère céleste sur une surface bidimensionnelle inventée dans la Grèce antique . L'une des caractéristiques mathématiques souhaitables de cette méthode (la projection stéréographique) est qu'elle convertit les cercles en cercles ou en lignes droites, une propriété prouvée dans les premières pages d'Apollonius's Conics. Comme Ptolémée l'a montré dans son Planisphaerium, le fait que la projection stéréographique cartographie les cercles en cercles ou en lignes droites fait de l'astrolabe un instrument très pratique pour compter le temps et représenter les mouvements des corps célestes. Les premiers astrolabes et manuels arabes connus pour leur construction datent du 9ème siècle. Le monde islamique a amélioré l'astrolabe comme une aide pour déterminer l'heure des prières, pour trouver la direction de la Mecque et pour la divination astrologique.

L'Europe redécouvre les classiques

Les contacts entre chrétiens, juifs et arabes en Catalogne ont amené la connaissance de l'astrolabe en Occident avant l'an 1000. Au 12^ème siècle, de nombreux manuels d'utilisation et de construction ont été traduits en latin avec des œuvres géométriques des Banū Mūsā, Thābit et autres. Certaines des réalisations des arabes ont été redécouvertes Géomètres dans l'Ouest après une large et une étude approfondie des euclidienne Elements , qui a été traduit à plusieurs reprises de l'arabe et une fois du grec dans les 12e et 13e siècles. The Elements (Venise, 1482) fut l'un des premiers livres techniques jamais imprimés. Archimède est également venu à l'Ouest au 12ème siècle, dans des traductions latines de sources grecques et arabes. Apollonius n'est arrivé que par morceaux. L'Almageste de Ptolémée est apparu dans un manuscrit latin en 1175. Ce n'est que lorsque les humanistes de la Renaissance ont tourné leur apprentissage classique vers les mathématiques, cependant, que les Grecs sont sortis dans des éditions imprimées standard en latin et en grec. Ces textes ont affecté leurs lecteurs latins avec la force de la révélation. Les Européens ont découvert la notion de preuve , le pouvoir de généralisation et l'intelligence surhumaine des Grecs; ils se sont dépêchés de maîtriser des techniques qui leur permettraient d'améliorer leurs calendriers et leurs horoscopes, de fabriquer de meilleurs instruments et d'élever les mathématiciens chrétiens au niveau des infidèles. Il a fallu plus de deux siècles aux Européens pour s'approprier leur héritage inattendu. Au XVe siècle, cependant, ils étaient prêts à aller au-delà de leurs sources. Les développements les plus novateurs se sont produits là où la créativité était la plus forte, dans l'art de la Renaissance italienne.

Perspective linéaire

La théorie de la perspective linéaire, une idée originale des architectes-ingénieurs florentins Filippo Brunelleschi (1377–1446) etLeon Battista Alberti (1404-1402) et leurs adeptes, devaient aider à refaire la géométrie au 17ème siècle. Le schéma de Brunelleschi et Alberti, tel que donné sans preuves dans De pictura d'Alberti, exploite la pyramide de rayons qui, selon ce qu'ils avaient appris des versions occidentalisées de l'optique d' Ibn Al-Haytham ( c.965-1040), va de l'objet à l'œil du peintre. Imaginez, comme Alberti l'a dirigé, que le peintre étudie une scène à travers une fenêtre, en utilisant un seul œil et sans bouger la tête; il ne peut savoir s'il regarde une scène extérieure ou un verre peint pour présenter à son œil la même pyramide visuelle. En supposant que cette fenêtre décorée soit la toile, Alberti a interprété le futur tableau comme la projection de la scène de la vie sur un plan vertical coupant la pyramide visuelle. Un trait distinctif de son système était le «point à l'infini» auquel les lignes parallèles de la peinture semblent converger, comme le montre la photographie. La procédure d'Alberti, telle que développée par Piero della Francesca ( vers 1410–1492) et Albrecht Dürer (1471–1528), a été utilisée par de nombreux artistes qui souhaitaient rendre la perspective de manière convaincante. Dans le même temps, les cartographes ont essayé diverses projections de la sphère pour accueillir le record des découvertes géographiques qui ont commencé au milieu du XVe siècle avec l'exploration portugaise de la côte ouest de l'Afrique. Par coïncidence avec ces explorations, les cartographes ont récupéré la Géographie de Ptolémée, dans laquelle il avait enregistré par latitude (parfois assez proche) et longitude (généralement loin) les principaux lieux connus de lui et indiqué comment ils pouvaient être projetés sur une carte. Les découvertes qui ont agrandi la Terre connue ne correspondaient pas facilement aux projections de Ptolémée. Les cartographes ont donc adopté la projection stéréographique qui avait servi les astronomes. Plusieurs ont projeté l'hémisphère nord sur l'équateur tout comme dans l'astrolabe standard, mais l'aspect le plus largement utilisé, popularisé dans les cartes du monde faites par le fils de Gerardus Mercator pour les éditions ultérieures de l'atlas de son père (à partir de 1595), a projeté des points sur la Terre sur un cylindre tangent à la Terre à l'équateur. Après avoir coupé le cylindre le long d'une ligne verticale et aplati le rectangle résultant, le résultat était le désormais familier. L'intense culture des méthodes de projection par les artistes, architectes et cartographes pendant la Renaissance a finalement incité les mathématiciens à considérer les propriétés de la perspective linéaire en général. Le plus profond de ces généralistes était un ancien architecte du nom de Girard Desargues (1591–1661).

Transformation

Cercles français

Desargues était un membre de l' intersection des cercles du 17ème siècle mathématiciens français dignes de l' Académie du 4ème siècle de Platon BCE ou Maison de Bagdad de la Sagesse du 9ème siècle CE. Parmi eux, René Descartes (1596–1650) et Pierre de Fermat (1601–65), inventeurs de la géométrie analytique ; Gilles Personne de Roberval (1602–75), pionnier dans le développement du calcul; et Blaise Pascal (1623-1662), qui contribue au calcul et un exposant des principes mis en avant par Desargues.

Géométrie projective

Deux directions principales peuvent être distinguées dans l'œuvre de Desargues. Comme les artistes de la Renaissance,Desargues a librement admis le point à l' infini dans ses démonstrations et a montré que chaque ensemble de lignes parallèles dans une scène (à l'exception de celles parallèles aux côtés de la toile) devait se projeter comme des faisceaux convergents à un certain point sur la «ligne à l'infini» (le horizon). Avec l'ajout de points à l'infini au plan euclidien, Desargues pouvait cadrer toutes ses propositions sur les droites sans en exclure les parallèles - qui, comme les autres, se rencontraient maintenant, mais pas avant «l'infini». Une question plus étendue issue de la perspective artistiqueétait la relation entre les projections du même objet de différents points de vue et différentes positions de la toile. Desargues a observé que ni la taille ni la forme ne sont généralement conservées dans les projections, mais la colinéarité l'est, et il a fourni un exemple, peut-être utile aux artistes, dans des images de triangles vus de différents points de vue. La déclaration qui accompagnait cet exemple est devenue connue sous le nom deThéorème de Desargues . La deuxième direction de Desargues était de «simplifier» le travail d'Apollonius sur sections coniques . Malgré sa généralité d'approche, Apollonius avait besoin de prouver tous ses théorèmes pour chaque type de conique séparément. Desargues a vu qu'il pouvait les prouver tous à la fois et, de plus, en traitant un cylindre comme un cône avec un sommet à l'infini, démontrer des analogies utiles entre cylindres et cônes. Suivant son exemple, Pascal a fait sa découverte surprenante que les intersections des trois paires de côtés opposés d'un hexagone inscrit dans une conique se trouvent sur une ligne droite. En 1685, dans ses Sectiones Conicæ , Philippe de la Hire (1640-1718), peintre parisien devenu mathématicien, prouva plusieurs centaines de propositions dans les Coniques d'Apollonius par les méthodes efficaces de Desargues.

Géométrie cartésienne

En 1619, dans le cadre de la grande illumination qui a inspiré Descartes pour assumer la modeste corvée de réformer la philosophie ainsi que les mathématiques , il a imaginé des «boussoles» faites de bâtons coulissant dans des cadres rainurés pour dupliquer le cube et trisecter les angles. Descartes considérait ces instruments et les constructions qu'ils effectuaient comme (pour citer une lettre de 1619) «non moins certains et géométriques que ceux ordinaires avec lesquels les cercles sont dessinés». Par l'utilisation d'instruments appropriés, il amènerait les mathématiques anciennes à la perfection: «il ne restera presque rien à découvrir en géométrie». Ce que Descartes avait à l'esprit était l'utilisation de boussoles à membres coulissants pour générer des courbes. Pour classer et étudier ces courbes, Descartes s'est inspiré des relations qu'Apollonius avait utilisées pour classer les sections coniques , qui contiennent les carrés, mais pas de puissances supérieures, des variables. Pour décrire les courbes plus compliquées produites par ses instruments ou définies comme les lieux de points satisfaisant les critères impliqués , Descartes a dû inclure des cubes et des puissances plus élevées des variables. Il a ainsi surmonté ce qu'il a appelé le caractère trompeur des termes carré, rectangle et cube utilisé par les anciens et en est venu à identifier les courbes géométriques comme des représentations de relations définies algébriquement. En réduisant les relations difficiles à énoncer et à prouver géométriquement aux relations algébriques entre les coordonnées (généralement rectangulaires) de points sur les courbes, Descartes a provoqué l'union de l' algèbre et de la géométrie qui a donné naissance au calcul .

Calcul géométrique

L'utilisation familière de l' infini , qui sous-tend une grande partie de la théorie de la perspective et de la géométrie projective , a également levé la fastidieuse méthode d'épuisement d'Archimède. Sans surprise, un homme pratique, l'ingénieur flamand Simon Stevin (1548–1620), qui a écrit sur la perspective et la cartographie parmi de nombreux autres sujets de mathématiques appliquées, a donné la première impulsion efficace vers la redéfinition de l'objet de l' analyse archimédienne . Au lieu de confiner le cercle entre un polygone inscrit et un polygone circonscrit, la nouvelle vue considérait le cercle comme identique aux polygones, et les polygones les uns aux autres, lorsque le nombre de leurs côtés devient infiniment grand. Cette approche revitalisée de l'épuisement a reçu une systématisation préliminaire dans la Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota (1635; «Une méthode pour la détermination d'une nouvelle géométrie des indivisibles continus») par le mathématicien italienBonaventura (Francesco) Cavalieri (1598–1647). Cavalieri, peut-être influencé par la méthode de Kepler pour déterminer les volumes dans Nova Steriometria Doliorum (1615; «New Stereometry of Wine Barrels»), considérait les lignes comme constituées d'un nombre infini de points sans dimension, les zones comme constituées de lignes d' épaisseur infinitésimale , et des volumes comme composés de plans d'une profondeur infinitésimale afin d'obtenir des manières algébriques de sommer les éléments dans lesquels il a divisé ses figures. La méthode de Cavalieri peut être énoncée comme suit: si deux figures (solides) de même hauteur sont coupées par des lignes parallèles (plans) de telle sorte que chaque paire de longueurs (aires) correspond, alors les deux figures (solides) ont la même aire (volume) . Bien que pas à la hauteur des normes rigoureuses d'aujourd'hui et critiqué par les contemporains «classiques» (qui ignoraient qu'Archimède lui-même avait exploré des techniques similaires), Cavalieri La méthode des indivisibles est devenue un outil standard pour résoudre les volumes jusqu'à l'introduction du calcul intégral vers la fin du 17ème siècle. Une deuxième inspiration géométrique pour le calcul dérivée des efforts pour définir des tangentes à des courbes plus compliquées que les coniques. La méthode de Fermat , représentative de plusieurs, avait pour exemple le problème de trouver le rectangle qui maximise la surface pour un périmètre donné. Notons a et b les côtés recherchés pour le rectangle . Augmentez un côté et diminuez l'autre d'une petite quantité ε; l'aire résultante est alors donnée par ( a + ε) ( b - ε). Fermat a observé ce que Kepler avait perçu plus tôt en recherchant les formes les plus utiles pour les fûts de vin, que près de son maximum (ou minimum) une quantité ne change guère car les variables dont elle dépend se modifient légèrement. Sur ce principe, Fermat a assimilé les aires a b et ( a + ε) ( b- ε) pour obtenir les valeurs stationnaires: a b = a b - ε a + ε b - ε ² . En annulant le terme commun a b , en divisant par ε, puis en mettant ε à zéro, Fermat avait sa réponse bien connue, a = b . Le chiffre avec une superficie maximale est un carré . Pour obtenir la tangente à une courbe par cette méthode, Fermat a commencé par une sécante passant par deux points à une courte distance l'un de l'autre et a laissé la distance disparaître.

Le système mondial

Une partie de la motivation de l'étude approfondie d'Apollonius au 17ème siècle était l'application des sections coniques à l'astronomie. Kepler a non seulement remplacé les nombreux cercles de l'ancien système planétaire par quelques ellipses, mais il a également substitué une règle compliquée de mouvement (sa «deuxième loi») à la règle ptolémaïque relativement simple selon laquelle tous les mouvements doivent être composés de rotations effectuées à vitesse constante .La deuxième loi de Kepler stipule qu'une planète se déplace dans son ellipse de sorte que la ligne entre elle et le Soleil placé à un foyer balaie des zones égales en des temps égaux. Son astronomie a ainsi rendu pressant et pratique le problème par ailleurs simplement difficile de la quadrature des coniques et de la théorie associée des indivisibles. Avec les méthodes d'Apollonius et quelques infinitésimales, un géomètre inspiré a montré que les lois concernant à la fois l'aire et l'ellipse peuvent être dérivées des suppositions que les corps libres de toutes forces se reposent ou se déplacent uniformément en lignes droites et que chaque planète tombe constamment vers le Soleil avec une accélération qui ne dépend que de la distance entre leurs centres. Le géomètre inspiré était Isaac Newton (1642 [Old Style] –1727), qui a fait de la dynamique planétaire une question entièrement de géométrie en remplaçant l'orbite planétaire par une succession d'accords infinitésimaux, une accélération planétaire par une série de secousses centripètes et, conformément à la deuxième loi de Kepler , temps par zone. Outre le problème du mouvement planétaire, les questions d'optique ont poussé les philosophes naturels et les mathématiciens du XVIIe siècle à l'étude des sections coniques. Comme Archimède est censé avoir montré (ou brillé) dans sa destruction d'une flotte romaine par la lumière du soleil réfléchie, un miroir parabolique amène tous les rayons parallèles à son axe vers un foyer commun. L'histoire d'Archimède a provoqué l'émulation de nombreux géomètres ultérieurs, dont Newton. Finalement, ils ont créé des instruments assez puissants pour faire fondre le fer. La figuration des lentilles de télescope a également renforcé l'intérêt pour les coniques après les améliorations révolutionnaires apportées par Galileo Galilei au télescope astronomique en 1609. Descartes a souligné l'intérêt des lentilles à surfaces hyperboliques, qui focalisent des faisceaux de rayons parallèles vers un point (les lentilles sphériques de grandes ouvertures donnent une image floue), et il a inventé une machine pour les couper - qui, cependant, s'est avérée plus ingénieuse qu'utile. Un dernier exemple des premières applications modernes de la géométrie au monde physique est le vieux problème de la taille du La terre . ( Voir l' encadré: Mesure de la Terre, modernisé .) Sur l' hypothèse que la Terre s'est refroidie à partir d'une goutte de liquide en rotation, Newton a calculé qu'il s'agit d'un sphéroïde aplati (obtenu en faisant tourner une ellipse autour de son petit axe), pas une sphère , et il a donné l'excédent de son équatorial sur son diamètre polaire. Au 18ème siècle, de nombreux géodésistes ont tenté de trouver l'excentricité de l'ellipse terrestre. Au début, il est apparu que toutes les mesures pourraient être compatibles avec une Terre newtonienne. À la fin du siècle, cependant, les géodésistes avaient découvert par la géométrie que la Terre n'avait pas, en fait, une forme géométrique régulière.

Détente et rigueur

La domination de l' analyse (algèbre et calcul) au XVIIIe siècle a produit une réaction en faveur de la géométrie au début du XIXe siècle. De nouvelles branches fondamentales du sujet ont abouti à l'approfondissement, à la généralisation et à la violation des principes de la géométrie ancienne. Les cultivateurs de ces nouveaux champs, tels queJean-Victor Poncelet (1788–1867) et son disciple autodidacte Jakob Steiner (1796–1863) ont insisté avec véhémence sur les revendications de la géométrie plutôt que sur l'analyse. La renaissance de la géométrie pure au début du XIXe siècle a produit la découverte qu'Euclide avait consacré ses efforts à une seule des nombreuses géométries complètes , dont les autres peuvent être créées en remplaçant le cinquième postulat d'Euclide par un autre sur les parallèles.

Projection à nouveau

Poncelet, qui était officier dans le corps français des ingénieurs, a appris des bribes de l'œuvre de Desargues de son professeur Gaspard Monge (1746–1818), qui a développé sa propre méthode de projection pour les dessins de bâtiments et de machines. Poncelet s'est appuyé sur ces informations pour se maintenir en vie. Emprisonné lors de l'invasion de la Russie par Napoléon en 1812, il passa son temps à répéter dans sa tête ce qu'il avait appris de Monge. Le résultat était géométrie projective. Poncelet a utilisé trois outils de base. Un qu'il a pris à Desargues: la démonstration de théorèmes difficiles sur une figure compliquée en élaborant des théorèmes équivalents plus simples sur une figure élémentaire interchangeable avec la figure originale par projection. Le deuxième outil, la continuité , permet au géomètre de revendiquer certaines choses comme vraies pour une figure qui sont vraies pour une autre figure également générale à condition que les figures puissent être dérivées les unes des autres par un certain processus de changement continu. Poncelet et son défenseur Michel Chasles (1793–1880) ont étendu le principe de continuité dans le domaine de l'imagination en considérant des constructions comme l'accord commun en deux cercles qui ne se croisent pas. Le troisième outil de Poncelet était le «principe de dualité », qui intervertit divers concepts tels que les points avec des lignes, ou les lignes avec des plans, afin de générer de nouveaux théorèmes à partir d'anciens théorèmes. Le théorème de Desargues permet leur échange. Ainsi, comme l'a montré Steiner, le théorème de Pascal selon lequel les trois points d'intersection des côtés opposés d'un hexagone inscrit dans une conique se trouvent sur une ligne; ainsi, les lignes joignant les sommets opposés d'un hexagone circonscrit autour d'une conique se rencontrent en un point. Les disciples de Poncelet se sont rendu compte qu'ils se gênaient eux-mêmes et déguisaient la véritable fondamentalité de la géométrie projective, en conservant le concept de longueur et de congruence dans leurs formulations, car les projections ne les préservent généralement pas. De même, le parallélisme devait disparaître. Des efforts étaient bien engagés au milieu du 19e siècle, par Karl George Christian von Staudt (1798–1867) entre autres, pour purger la géométrie projective des dernières reliques superflues de son passé euclidien.

Géométries non euclidiennes

Les Lumières n'étaient pas tellement préoccupées par l'analyse qu'elles ignoraient complètement le problème du cinquième postulat d'Euclide. En 1733 Girolamo Saccheri (1667-1733), professeur jésuite de mathématiques à l'Université de Pavie, en Italie, a considérablement avancé la discussion séculaire en exposant les alternatives avec beaucoup de clarté et de détail avant de déclarer qu'il avait «débarrassé Euclide de tout défaut» ( Euclides ab Omni Naevo Vindicatus , 1733). Le cinquième postulat d'Euclide s'exécute: «Si une ligne droite tombant sur deux lignes droites rend les angles intérieurs du même côté inférieurs à deux angles droits, les lignes droites, si elles sont produites indéfiniment, se rencontreront de ce côté sur lequel sont les angles inférieurs à deux. angles droits." Saccheri a pris le quadrilatère d' Omar Khayyam (1048-1131), qui a commencé avec deux lignes parallèles AB et D C , ont formé les côtés en traçant les lignes A D et B C perpendiculaires à A B , puis ont considéré trois hypothèses pour les angles internes en C et D : être droit, obtus ou aigu. La première possibilité donne la géométrie euclidienne. Saccheri s'est consacré à prouver que les alternatives obtuses et aiguës aboutissent toutes deux à des contradictions, ce qui éliminerait ainsi la nécessité d'un postulat parallèle explicite. Sur le chemin de cette fausse démonstration, Saccheri a établi plusieurs théorèmes de géométrie non euclidienne - par exemple, que selon que l'hypothèse droite, obtuse ou aiguë est vraie, la somme des angles d'un triangle est respectivement égale, supérieure ou égale tombe en deçà de 180 °. Il a ensuite détruit l'hypothèse obtuse par un argument qui dépendait de permettre aux lignes d'augmenter de longueur indéfiniment. Si cela est refusé, l'hypothèse de l'angle obtus produit un système équivalent à la géométrie sphérique standard, la géométrie des figures dessinées à la surface d'une sphère. Quant à l'angle aigu, Saccheri ne pouvait le vaincre qu'en faisant appel à une hypothèse arbitraire sur le comportement des lignes à l' infini . L'un de ses disciples, le polymathe germano-suisse Johann Heinrich Lambert (1728-1777), a observé que, sur la base de l'hypothèse aiguë, l'aire d'un triangle est la négative de celle d'un triangle sphérique. Puisque ce dernier est proportionnel au carré du rayon, r , le premier apparaît à Lambert comme l'aire d'une sphère imaginaire de rayon i r , où i =Racine carrée de√ −1 . Bien que Saccheri et Lambert aient tous deux cherché à établir l'hypothèse de l'angle droit, leurs arguments semblaient plutôt indiquer le caractère irréprochable des alternatives. Plusieurs mathématiciens de l'Université de Göttingen , notamment le grand Carl Friedrich Gauss (1777–1855), a ensuite abordé le problème. Gauss a probablement été le premier à percevoir qu'une géométrie cohérente pouvait être construite indépendamment du cinquième postulat d'Euclide, et il a dérivé de nombreuses propositions pertinentes, qu'il n'a cependant promulguées que dans son enseignement et sa correspondance. Les premiers systèmes géométriques non euclidiens publiés étaient l'œuvre indépendante de deux jeunes hommes de l'Est qui n'avaient rien à perdre par leur audace. Les deux peuvent être considérés comme les disciples de Gauss une fois supprimés : le russeNikolay Ivanovich Lobachevsky (1792-1856), qui a appris ses mathématiques d'un ami proche de Gauss à l'Université de Kazan, où Lobachevsky est devenu plus tard professeur; etJános Bolyai (1802-1860), officier de l'armée austro-hongroise dont le père était également un ami de Gauss. Lobachevsky et Bolyai avaient tous deux mis au point leurs géométries originales en 1826. Lobachevsky et Bolyai ont raisonné sur l'hypothèse de l'angle aigu à la manière de Saccheri et Lambert et ont récupéré leurs résultats sur les aires de triangles. Ils ont avancé au-delà de Saccheri et Lambert en dérivant une trigonométrie imaginaire pour aller avec leur géométrie imaginaire. Tout comme la géométrie projective de Desargues a été négligée pendant de nombreuses années, les travaux de Bolyai et Lobachevsky ont peu impressionné les mathématiciens pendant une génération et plus. Ce fut en grande partie la publication posthume en 1855 des idées de Gauss sur la géométrie non euclidienne qui donna aux nouvelles approches le cachet d'attirer l'attention des mathématiciens ultérieurs.

Une grande synthèse

Une autre des impulsions profondes que Gauss donna à la géométrie concernait la description générale des surfaces. Typiquement, à l'exception notable de la géométrie de la sphère, les mathématiciens avaient traité les surfaces comme des structures dans l'espace euclidien en trois dimensions. Cependant, comme ces surfaces n'occupent que deux dimensions, seules deux variables sont nécessaires pour les décrire. Cela a incité à penser que les surfaces bidimensionnelles pourraient être considérées comme des « espaces » avec leurs propres géométries, et pas seulement comme des structures euclidiennes dans l'espace ordinaire. Par exemple, la distance la plus courte, ou chemin, entre deux points sur la surface d'une sphère est le petit arc du grand cercle les rejoindre, alors que, considérés comme des points dans l'espace tridimensionnel, la distance la plus courte entre eux est une ligne droite ordinaire. Le chemin le plus court entre deux points sur une surface située entièrement à l'intérieur de cette surface s'appelle une géodésique, ce qui reflète l'origine du concept en géodésie, auquel Gauss s'est activement intéressé. Son initiative dans l'étude des surfaces en tant qu'espaces et des géodésiques en tant que « lignes » a été poursuivie par son élève et, brièvement, son successeur à Göttingen, Bernhard Riemann (1826–66). Riemann a commencé avec un espace abstrait de n dimensions. C'était dans les années 1850, lorsque les mathématiciens et les mathématiciens commençaient à utiliser l'espace euclidien n- dimensionnel pour décrire les mouvements de systèmes de particules dans la nouvelle théorie cinétique des gaz. Riemann a travaillé dans un espace quasi-euclidien - « quasi » parce qu'il a utilisé le calcul pour généraliser le théorème de Pythagore afin de fournir une flexibilité suffisante pour fournir des géodésiques sur n'importe quelle surface. Lorsque cette géométrie différentielle très générale se résume à des surfaces bidimensionnelles à courbure constante , elle révèle d'excellents modèles pour les géométries non euclidiennes. Riemann lui-même a fait remarquer qu'en appelant simplement la géodésique d'une sphère des «droites», l' hypothèse décriée de l' angle obtus produit la géométrie appropriée à la surface de la sphère. De même, comme le montre Eugenio Beltrami (1835–1900), qui a terminé sa carrière d'enseignant dans l'ancien poste de Saccheri à Pavie, la géométrie définie dans le plan par l'hypothèse de l'angle aigu s'adapte parfaitement à une surface de révolution à courbure négative constante maintenant appelée pseudosphère - à nouveau, à condition que ses géodésiques soient acceptées comme les droites de la géométrie. Puisque l'hypothèse de l'angle obtus caractérise correctement la géométrie euclidienne appliquée à la surface d'une sphère, la géométrie non euclidienne basée sur elle doit être exactement aussi cohérente que la géométrie euclidienne. Le cas de l'angle aigu traité par Lobachevsky et Bolyai nécessitait un outil plus pointu. Beltrami l'a trouvé dans une projection dans un disque dans le plan euclidien des points d'un espace non-euclidien, dans lequel chaque géodésique de l'espace non-euclidien correspond à une corde du disque. La géométrie construite sur l'hypothèse de l'angle aigu a la même consistance que la géométrie euclidienne. Le rôle clé de la géométrie euclidienne dans les preuves de la cohérence des géométries non euclidiennes a exposé les éléments à un examen de plus en plus approfondi. Les anciennes imperfections - en particulier les appels à l' intuition et les diagrammes pour la signification de concepts comme «à l'intérieur» et «entre» et l'utilisation de procédures douteuses comme la superposition pour prouver la congruence - sont devenues intolérables aux mathématiciens qui ont travaillé à clarifier les fondements de l' arithmétique et du calcul. ainsi que les interrelations des nouvelles géométries. Le mathématicien allemandMoritz Pasch (1843-1930), dans sonVorlesungen über neuere Geometrie (1882; «Lectures on the New Geometry»), a identifié ce qui manquait: des concepts indéfinis, des axiomes sur ces concepts et une logique plus rigoureuse basée sur ces axiomes. Le choix des concepts et axiomes indéfinis est libre, en dehors de la contrainte de cohérence. Les mathématiciens suivant le chemin de Pasch ont introduit divers éléments et axiomes et ont développé leurs géométries avec plus ou moins d'élégance et de difficulté. Le plus réussi de ces systématiseurs fut le professeur de Göttingen David Hilbert (1862–1943), dont les fondements de la géométrie (1899) ont grandement influencé les efforts visant à axiomatiser toutes les mathématiques.

Le vrai monde

Les éléments d’Euclide avaient revendiqué l’excellence d’être un véritable récit de l’ espace . Dans le cadre de cette interprétation, le cinquième postulat d'Euclide était une découverte empirique ; les géométries non euclidiennes ne s'appliquaient pas au monde réel. Bolyai ne pouvait apparemment pas se libérer de la conviction que la géométrie euclidienne représentait la réalité. Lobachevsky a observé que, s'il y avait une étoile si éloignée que sa parallaxe n'était pas observable de l'orbite terrestre, sa géométrie serait indiscernable de celle d'Euclide au point où la parallaxe aurait disparu. Par son calcul, basé sur des parallaxes stellaires alors juste détectées, sa géométrie ne pouvait avoir de signification physique que dans des triangles gargantuesques couvrant l'espace interstellaire. En fait, les géométries non euclidiennes s'appliquent au cosmos plus localement que Lobachevsky ne l'imaginait. En 1916, Albert Einstein (1879–1955) a publié «The Foundation of the GeneralThéorie de la relativité », qui a remplacé la description de Newton de la gravitation comme une force qui attire des masses distantes les unes vers les autres à travers l' espace euclidien avec un principe de moindre effort, ou chemin le plus court (temporel), pour le mouvement le long des géodésiques d'un espace courbe. Einstein a non seulement expliqué comment les corps gravitaires confèrent à cette surface ses propriétés - c'est-à-dire que la masse détermine en quoi les distances différentielles , ou courbures, dans la géométrie de Riemann diffèrent de celles de l'espace euclidien - mais a également prédit avec succès la déviation de la lumière, qui n'a pas de masse, à proximité d'une étoile ou d'un autre corps massif. C'était une pièce extravagante de géométrisation - le remplacement de la force gravitationnelle par la courbured'une surface. Mais ce n'était pas tout. Dans la théorie de la relativité, le temps est considéré comme une dimension avec les trois dimensions de l'espace. Sur le monde quadridimensionnel fermé ainsi formé, l'histoire de l' univers se révèle comme pouvant être décrite par le mouvement dans un vaste ensemble de géodésiques dans un univers non euclidien.