Fonctions : généralités

Définitions

La fonction f est la relation qui associe à un nombre x d'un ensemble D un nombre unique y, image de  x . On note f : x ↦ y ou y = f( x) ou f : x ↦ f( x)

Domaine de définition

Le domaine de définition D de la fonction f est l'ensemble des nombres x qui ont une image f( x). x ∈ D

Courbe représentative

Soit f une fonction définie sur D par f : x ↦ f( x)

Dans un repère ( O, I, J) la courbe représentative de f est l'ensemble des points M( x ; f( x) ).

Images et antécédents

f( x) est l'image de x par f, l'image est unique. x est un antécédent de f( x), il peut y avoir plusieurs antécédents. En abscisses on trouve x et en ordonnées on trouve f( x).

Déterminer une image ou un antécédent par le calcul :

Pour calculer l'image de x = a, il suffit de calculer y = f( a). Pour calculer les antécédents de c, il suffit de résoudre l'équation f( x) = c.

Soit la fonction f( x) = x² - 5 définie sur ℝ. Déterminer les antécédents de 4.

Dans ce cas on a f( x) = 4, soit x² - 5 = 4 ⇔ x² - 5 - 4 = 0 ⇔ x² - 9 = 0 ⇔ ( x - 3 )( x + 3 ) = 0 Cette équation a deux solutions : x - 3 = 0 et x + 3 = 0 4 a deux antécédents 3 et -3 .

Sens de variation

Définitions

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

• La fonction f est croissante sur I si et seulement si a £ b alors f( a) £ f( b).
• La fonction f est décroissante sur I si et seulement si a £ b alors f( a) ³ f( b).
• La fonction f est "constante" si tous les éléments de I ont la même image.

Sur la figure ci-contre soit la fonction f définie sur

l'intervalle [ -2; + 1 ]. Sur l'intervalle [ -2; 1 ] la fonction f est croissante Sur l'intervalle [ 1; 3 ] la fonction f est décroissante                                Sur l'intervalle [ 3; + 1 ] la fonction f est croissante.

Tableau de variation

On résume les sens de variation d'une fonction dans un tableau de variation. Le tableau donne l'allure de la courbe. Dans l'exemple ci-dessus on a :

Extrémuns

Soit une fonction f définie sur I et x₀ ∈ I. La fonction f présente un maximum en x₀ si et seulement si pour tout x appartenant à I f(x) ≤ f(x₀) La fonction f présente un minimum en x0 si et seulement si pour tout x appartenant à I f(x) ≥ f(x₀)

La fonction f est définie sur [ -3; 4 ] et présente un minimum en ( -1; - 3 ) et un maximum en ( 3; 2 ).

Propriétés des fonctions

Parité

Soit f une fonction définie sur un ensemble D :

f est paire si et seulement si : pour tout x ∈ D alors -x ∈ D et f(-x) = f(x). Dans un repère orthonormal ( O, I, J), la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

f est impaire si et seulement si : pour tout x ∈ D alors -x 2 D et f( -x) = - f( x). Dans un repère orthonormal ( O, I, J), la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Construction d'une courbe représentative point par point

• On repère les maxima et les minima de la fonction.
• On cherche les sens de variation.
• On dresse un tableau de variation.
• On calcule quelques points sur les différents intervalles.

Résolution graphique d'équations/inéquations

Equation 

• f ( x ) = 0

Les solutions sont les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de la fonction f avec l'axe des abscisses.

• f ( x ) = k

Les solutions sont les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de la fonction f avec la droite d'équation y = k.

• f ( x ) = g ( x )

Les solutions sont les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de la fonction f avec la courbe représentative de la fonction g.

Inéquation

• f ( x ) > 0

Les solutions sont les abscisses des points de la courbe représentative de la fonction f qui sont situés au dessus de l'axe des abscisses.

• f ( x ) > k

Les solutions sont les abscisses des points de la courbe représentative de la fonction f dont l'ordonnée est supérieure à k.

• f ( x ) > g ( x )

Les solutions sont les abscisses des points de la courbe représentative de la fonction f situés au-dessus de la courbe représentative de la fonction g.