Notion d'équation
Propriétés des égalités
On peut ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres d'une égalité. Soient a, b et c trois nombres relatifs :
- si a = b alors a + c = b + c : on ajoute c aux deux membres de l'égalité,
- si a + c = b + c alors a = b : on retranche c aux deux membres de l'égalité.
On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une égalité par un même nombre non nul. Soient a, b et c trois nombres relatifs c ≠ 0 :
- si a = b alors ac = bc : on multiplie les deux membres de l'égalité par c,
- si ac = bc alors a = b : on divise les deux membres de l'égalité par c,
- si a = b alors a/c =b/c : on divise les deux membres de l'égalité par c,
- si a/c =b/c alors a = b : on multiplie les deux membres de l'égalité par c.
Notion déquation
Une équation est une égalité dans laquelle il y a au moins un nombre inconnu représenté par une lettre. On parle d'équation du premier degré à une inconnue lorsque la seule inconnue x est au premier degré.
x + 3 = 2 ou encore 2x = 5 sont des équations du premier degré.
Méthodes de résolution
Résoudre une équation d'inconnue x c'est trouver les valeurs que peut prendre x pour que l'égalité soit vraie. Pour résoudre une équation on regroupe tous les termes contenant x dans le premier membre de l'égalité et les termes numériques dans le deuxième membre.
Résolution d'une équation du type x + a = b
a et b sont des nombres relatifs et x l'inconnue.
On retranche a à chaque membre de l'égalité et on obtient : x = b - a.
Résoudre l'équation x + 3,5 = 5
On retranche 3,5 à chaque membre : x = 5 - 3,5 = 1,5 L'équation a pour solution x = 1,5 .
Résolution d'une équation du type ax = b
a et b sont des nombres relatifs et a ≠ 0. On divise chaque membre de l'équation par a et on obtient : x = b/a.
Résoudre l'équation 4,2x = 21 On divise chaque membre par 4,2 : x = 21/4,2 = 5
L'équation a pour solution x = 5 .
Résolution d'une équation du type ax + b = cx + d
Toutes ces équations se ramèneront à la forme a 'x = b' où a ' et b' sont des nombres relatifs et x l'inconnue. Pour ramener une équation à cette forme il faudra parfois faire quelques transformations, en particulier ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres de l'égalité ou multiplier ou diviser les deux membres de l'égalité par un même nombre non nul. Avant cela il sera parfois nécessaire de développer ou de réduire l'un ou l'autre, ou les deux membres de l'égalité.
Résoudre l'équation 2x - 2 = 3x + 6
On isole les termes contenant x dans le premier membre et les termes numériques dans le deuxième membre : 2x - 3x = + 6 + 2, soit -x = 8 On multiplie (ou divise) chaque membre de l'égalité par -1 : x = - 8 On conclut : L'équation a pour solution x = - 8 .
Equations particulières
Toutes les équations du premier degré n'ont pas qu'une seule solution.
Certaines équations n'ont aucune solution :
Résoudre l'équation 2x = 2x + 1 On retranche 2x aux deux membres : 2x - 2x = 2x + 1 - 2x, et on obtient : 0 = 1, ce qui est impossible. Il n'existe aucun nombre x tel que l'égalité soit vraie, l'équation n'a pas de solution.
Certaines équations admettent n'importe quel nombre pour solution :
Résoudre l'équation : x + 1 = 2((1/2)x + 1) - 1
On développe le deuxième membre : x + 1 = x + 2 - 1 ou encore : x + 1 = x + 1.
Cette égalité est toujours vraie quelle que soit la valeur prise par le nombre x.
Tout nombre relatif convient, on dit que l'équation a une infinité de solutions.
Mise en équation et résolution
Pour résoudre un problème à l'aide d'une équation il faut :
a. lire l'énoncé afin de choisir l'inconnue (ce que l'on cherche),
b.traduire les renseignements donnés dans le texte à l'aide de cette inconnue et des différentes données numériques : c'est à dire écrire une équation,
c. résoudre l'équation par les méthodes données précédemment,
d. vérifier que la solution de l'équation correspond au problème,
e. répondre par une phrase à la question posée dans l'énoncé.
Dans une classe de 21 élèves il y a 3 filles de plus que de garçons.
Combien y a t-il de garçons dans la classe ?
Soit x le nombre de garçons, le nombre de filles est x + 3, et on a l'équation : x + ( x + 3 ) = 21
2x + 3 = 21 2x = 21 - 3 2x = 18 2x/2 = 18/2 x = 9
Il y a 9 garçons dans la classe